Materi Pola,Barisan,dan Deret

A. Pola Bilangan Dalam Matematika

Berawal dari tugas matematika di sekolah oleh guru matemtika yang memberi tugas untuk mencari pola – pola bilangan matematika, maka pada kesempatan kali ini saya akan membagikan beberapa jenis pola bilangan matematika. Tanpa panjang lebar, langsung saja kita ke pembahasannya.

Pola bilangan ganjil

• Pola bilangan ganjil memiliki pola 1, 3, 5, 7, 9 ….
• Barisan bilangan ganjil adalah 1,3, 5, 7, 9, …
• Deret bilangan ganjil adalah 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ….
• Rumus mencari suku ke ke-n adalah Un = 2n – 1
• Rumus mencari jumlah n suku pertama adalah Sn = n2
• Berikut adalah gambar pola dari bilangan ganjil
  

Pola bilangan genap

• Pola bilangan genap adalah 2, 4, 6, 8, 10, …..
• Barisan bilangan genap adalah 2, 4, 6, 8, 10, ….
• Deret bilangan genap adalah 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + …..
• Rumus untuk mencari suku ke-n adalah Un = 2n
• Rumus mencari jumlah n suku pertama adalah Sn = n2 + n
• Gambar pola bilangan genap adalah sebagai berikut

Pola bilangan segitiga

• Pola bilangan segitiga adalah 1, 3, 6, 10, 15, 21, …..
• Barisan bilangan segitiga adalah 1, 3, 6, 10, 15, 21, …..
• Deret bilangan segitiga adalah 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + …..
• Rumus mencari suku ke-n adalah Un = ½ n (n + 1 )
• Rumus mencari jumlah n suku pertama adalah Sn = 1/6 n ( n + 1 ) ( n + 2 )
• Gambar pola bilangan segitiga adalah sebagai berikut
  

Pola bilangan persegi

• Pola bilangan persegi adalah 1, 4, 9, 16, 25, …..
• Barisan bilangan persegi adalah 1, 4, 9, 16, 25, …..
• Deret bilangan persegi adalah 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + ……
• Rumus mencari suku ke-n adalah Un = n2
• Rumus mencari jumlah n suku pertama adalah Sn = 1/6 n ( n + 1 ) ( 2n + 1 )
• Gambar pola bilangan persegi adalah sebagai berikut
  

Pola bilangan persegi panjang

• Pola bilangan persegi panjang adalah 2, 6, 12, 20, 30, ……
• Barisan bilangan persegi panjang adalah 2, 6, 12, 20, 30, ……
• Deret bilangan persegi panjang adalah 2 + 6 + 12 + 20 + 30 + …..
• Rumus mencari suku ke-n adalah Un = n ( n + 1 )
• Rumus mencari jumlah n suku pertama adalah Sn = 1/3 n ( n + 1 ) ( n + 2 )
• Gambar pola bilangan persegi panjang adalah sebagai berikut

Pola bilangan segitiga pascal

• Rumus mencari jumlah baris ke-n adalah 2n – 1
• Gambar pola bilangan segitiga pascal adalah sebagai berikut

Pola bilangan Fibonacci

• Pola bilangan fibanocci adalah pola bilangan dimana jumlah bilangan setelahnya merupakan hasil dari penjumlahan dari dua bilangan sebelumnya.
• Pola bilangan Fibonacci adalah 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …..
• 2 diperoleh dari hasil 1 + 1 3 diperoleh dari hasil 2 + 1, 5 diperoleh dari hasil 3 + 2 dan seterusnya
• Rumus mencari suku ke-n adalah Un = Un – 1 + Un - 2

Pola bilangan pangkat tiga

• Pola bilangan pangkat tiga adalah pola bilangan dimana bilangan setelahnya merupakan hasil dari pangkat tiga dari bilangan sebelumnya
• Contoh pola bilangan pangkat tiga adalah 2, 8, 512, 134217728, …..
• Keterangan : 8 diperoleh dari hasil 2 pangkat tiga, 512 diperoleh dari hasil 8 pangkat tiga, dan seterusnya

Pola bilangan aritmatika

• Pola bilangan aritmatika adalah pola bilangan dimana bilangan sebelum dan sesudahnya memiliki selisih yang sama.
• Contoh pola bilangan aritmatika adalah 2, 5, 8, 11, 14, 17, ….
• Suku pertama dalam bilangan aritmatika dapat disebut dengan awal ( a ) atau U1, sedangkan suku kedua adalah U2 dan seterusnya.
• Selisih dalam barisan aritmatika disebut dengan beda dan dilambangkan dengan b.
• Karena bilangan sebelum dan sesudahnya memiliki selisih yang sama, maka b = U2 - U1 = U3 – U2 = U4 – U3 = U5 – U4 = U6 – U5 = 3
• Rumus mencari suku ke-n adalah Un = a + ( n – 1 ) b
• Rumus mencari jumlah n suku pertama adalah Sn = n/2 ( a + Un ) atau Sn = n/2 ( 2 a + ( n – 1 ) b )

B. Barisan Aritmatika

          (1) 3, 7, 11, 15, 19, ...
          (2) 30, 25, 20, 15, 10,...
Perhatikan bahwa selisih di antara suku-sukunya selalu tetap. Barisan yang demikian itu disebut barisan aritmetika. Selisih itu disebut beda suku atau beda saja dan dilambangkan dengan c.
          Barisan (l) mempunyai beda, b = 4. Barisan ini disebut barisan aritmetika naik karena nilai suku-sukunya makin besar.
          Barisan (2) mempunyai beda, b = -5. Barisan ini disebut barisan aritmetika turun karena nilai suku-sukunya makin kecil.
Suatu barisan U₁, U₂, U₃,....disebut barisan aritmetika jika selisih dua suku yang berurutan adalah tetap. Nilai Untuk menentukan suku ke-n dari barisan aritmetika. perhatikan kembali contoh barisan (l).
        3, 7, 11, 15, 19, ...
Misalkan U1, U2, U3 , .... adalah barisan aritmetika tersebut maka
       U₁ = 3 =+ 4 (0)

       U₂ = 7 = 3 + 4 = 3 + 4 (1)
       U₃ = 11 = 3 + 4 + 4 = 3 + 4 (2)
            ....
       U_n = 3 + 4(n-1)
Secara umum, jika suku pertama (U₁) = a dan beda suku yang berurutan adalah b maka dari rumus Un = 3 + 4(n - 1) diperoleh 3 adalah a dan 4 adalah b. Oleh sebab itu, suku ke-n dapat dirumuskan
       U_n = a + b(n-1)
Barisan aritmetika yang mempunyai beda positif disebut barisan aritmetika naik, sedangkan jika bedanya negatif disebut barisan aritmetika turun.
        U₁, U₂, U₃, .......U_n-1, U_n disebut barisan aritmatika, jika
        U₂ - U₁ = U₃ - U₂ = .... = U_n - U_n-1 = konstanta
Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) → Fungsi linier dalam n

Deret Aritmatika

Seperti telah dibahas sebelumnya, deret adalah bentuk penjumlahan dari suku-suku pada sebuah barisan. Jika U₁, U₂, U₃, ... barisan aritmetika. U_1, U₂, U₃, ... adalah deret aritmetika.
Untuk mendapatkan jumlah n suku pertama dari deret aritmetika, perhatikan kembali deret yang dihasilkan barisan (l ).
      3 +7 + 1l + 15 + 19 + ...
Jika jumlah n suku pertama dinotasikan dengan.S_n maka S dari deret di atas adalah :

Perhatikan jumlah 5 suku pertama, S yang diperoleh. Angka 3 pada perhitungan tersebut berasal dari suku pertama, sedangkan l9 adalah suku ke-5. Oleh karena itu, jumlah suku ke-n adalah

Jika nilai Un tidak diketahui, kita gunakan rumus Un, barisan aritmetika, yaitu Un = a + (n-1)b, sehingga jumlah n suku pertama adalah

jumlah n suku pertama dari suatu deret aritmetika yang suku pertamanya a dan beda b adalah

Untuk memudahkan perhitungan Sn suatu deret aritmetika, perhatikan hal-hal berikut. a. Jika diketahui suku pertama a dan beda b, gunakan rumus b. Jika diketahui suku pertama dan suku ke-n,gunakan rumus

C. Barisan Geometri

Suatu barisan U₁, U₂, U₃, ....disebut barisan geometri jika perbandingan dua suku yang berurutan adalah tetap. Nilai perbandingan yang tetap itu disebut rasio.
Bagaimana cara menentttkan suku ke-n tanpa harus menentukan semua suku sebelumnya?
Suatu barisan geometri disebut barisan geometri rurun jlka 0 < r < 1 dan disebut barisan geometri naik jika r > l.
Contoh :
Tentukan suku ke-10 dari barisan geometri 4, 8, 16, ...!
Jawab :
Dari Barisan Geometri 4, 8, 16, ..., diperoleh suku pertama a = 4 dan rasio r = 2 sehingga
 

Deret Geometri

Bentuk penjumlahan dari barisan geometri U₁, U₂, U₃, ..., yaitu U₁ + U₂ + U₃ +... disebut deret geometri.
a + ar² + ....... + ar^n-1 disebut deret geometri
a = suku awal
r = rasio
n = banyak suku
Jumlah n suku


Keterangan:

• Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap
• Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku

    Un > Un-1

• Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku

   Un < Un-1
Bergantian naik turun, jika r < 0
Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1
Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
         _______     ________
U_t = √ U₁xU_n = √U₂ X U_n-1  ......dst.
Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar